Matematika önjavító feladatok - Mintaérettségi - Koordinátageometria (Rész: I. és II.)

Típus választása: Csak az I. rész; I. és II. rész is

A "Küldés / Ellenőrzés" gombra kattintva a program kijavítja a feladatotokat, illetve kiírja a jó megoldásokat, a hibáitokat és a pontszámotokat. Ezzel egyidőben a megoldott feladatot elküldi egy adatbázisba, illetve ha regisztrálva kértétek, akkor nektek is postázza e-mail-ben kiértékelve.

A könnyebb kezelhetőség kedvéért: PC-n a tabulátor (Tab) gombbal tudsz a mezők közt lépkedni (visszafele Shift+Tab), illetve a mezők közti váltást az okostelefonokon is támogatják. Sok sikert!

Figyelem! Az önjavító sorok a Fb/Messenger saját böngészőjében megnyitva nem mindig működnek megfelelően - valamiért nem aktív az "Küldés" gomb!
Ilyen esetben válts a mobil alapértelmezett böngészőjére!

Regisztrálva és bejelentkezve használva az oldalt több funkció érhető el, illetve kényelmesebb is a feladatmegoldás.

Az idei évszám, mint ellenőrző kód megadása kötelező, a csoportkód opcionális! (A neved már nem adható meg csak bejelentkezéssel, ahelyett hasznos lehet a csoportkód, ha egy helyre szeretnéd gyűjteni a megoldásaidat - bár akkor inkább a regisztráció javasolt.)

A weboldal teljes értékű használatához kérlek regisztrálj! Semmilyen személyes adatot nem kötelező megadni, mindössze egy általad választott felhasználónév és jelszó szükségeltetik hozzá.

A regisztrációval járó előnyök többek között:
- a saját (felhasználó)neved alatt mentődnek a feladatsoraid, egy helyen látod az eredményeidet
- e-mailben is elküldetheted magadnak a megoldásaidat
- hozzá tudod rendelni a tanárodat a megoldásaidhoz
- nem kell minden alkalommal megadnod az idei évszámot, mint ellenőrző kód
- minden új feladattípust először a bejelentkezett felhasználók láthatnak.

Függvénytábla-részlet »

Témakör összefoglaló; szükséges képletek, tételek

Egyenes általános egyenlete: f(x) = m·x + b, ahol m az egyenes meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspontja.
Két egyenes párhuzamos, ha meredekségeik megegyeznek; illetve merőlegesek, ha meredekségeik egymás negatív reciprokai.

Két pont - M(m; n) és P(p; q) - d távolsága: (javallom a Pitagorasz-tétel használatát rajz és józan paraszti ész segítségével, de végülis a képlet is ezt teszi) d = √(p − m)² + (q − n)²

A(a₁; a₂) B(b₁; b₂) szakasz F(f₁; f₂) felezőpontja: (a megfelelő koordináták átlaga) f₁ = (a₁+b₁)/2; f₂ = (a₂+b₂)/2

A(a₁; a₂) B(b₁; b₂) C(c₁; c₂) Δ háromszög S(s₁; s₂) súlypontja: (a megfelelő koordináták átlaga)
s₁ = (a₁+b₁+c₁)/2; s₂ = (a₂+b₂+c₂)/2

Adott P(x₀; y₀) ponton átmenő, v(v₁; v₂) irányvektorú egyenes egyenlete: v₂(x − x₀) = v₁(y − y₀)

Adott P(x₀; y₀) ponton átmenő, n(A; B) normálvektorú egyenes egyenlete: Ax + By = Ax₀ + By₀

Két ponton - P₁(x₁; y₁) és P₂(x₂; y₂) - átmenő egyenes egyenlete: (y − y₁)·(x₂ − x₁) = (x − x₁)·(y₂ − y₁)

Kör egyenlete: (x − u)² + (y − v)² = r², ahol r a kör sugara, míg a középpontja: K(u; v)

Két görbe vagy egyenes metszéspontjainak meghatározása: Az alakzatok egyenleteit egyenletrendszerként kezelve kifejezzük a koordinátákat.

Pont része-e az egyenesnek vagy a görbének: A pont koordinátáit behelyettesítve az alakzat egyenletébe megnézzük, hogy a kapott egyenlet ellentmondásra vagy azonosságra vezet-e. Utóbbi esetben része a pont.

Abszcissza: Az x-tengelyt, avagy egy pont első koordinátáját jelöli.
Ordináta: Az y-tengelyt, avagy egy pont második koordinátáját jelöli.

I. rész

Az I. részre összesen 45 perced lesz élesben az érettségin, majd a II. rész előtt lesz 15 perc szünet.
Feladatonként 1-4 pont jár, összesen 30 pont.

A megoldásokat nem egész szám esetén mindig egy tizedre kerekítsd, illetve a hagyományos törteket is tizedestört formában add meg!

1) Az f(x) = 1x − 11 egyenesnek mekkora a meredeksége? — 1 pont 2) Igaz-e, hogy ha egy egyenes meredeksége 4, akkor az egyenes szigorúan monoton csökkenő? nem igen — 1 pont 3) Adott két pont: A(4; -4) és B(1; 5). Mekkora AB szakasz hossza? — 2 pont 4) A P(-2; 4) ponton átmenő n(-6; 5) normálvektorú egyenes hol metszi y tengelyt? = y — 4 pont 5) Adott A(9; 7) és B(-3; 3) pont. Mi az AB szakasz felezőpontjának koordinátáinak összege? — 2 pont 6) ABCΔ súlypontja koordinátáinak mi az összege? Adott A(0; 2), B(-6; 1) és C(-1; -8) pontok. — 3 pont 7) A P(4; 7) ponton átmenő v(3; 6) irányvektorú egyenesnek mekkora a meredeksége?
(Hagyományos tört esetén írd át tizedestörtbe az eredményt!) — 3 pont 8) Mekkora a k: (x − 5)² + (y + 2)² = 81 kör sugara? — 2 pont 9) Mennyi a k: (x + 2)² + (y − 0)² = 9 kör középpontjának abszcisszája? — 2 pont 10) Az e: y = ²/₆ · x − 4 egyenes hol metszi x tengelyt?
(Most a ²/₆ forma hagyományos törtet jelöl!) = x — 4 pont 11) Mekkora A(2; 5) és B(-4; 0) pontokon átmenő egyenes meredeksége? — 3 pont 12) Rajta van-e P(4; 6) pont f(x) = 1x + 0 egyenesen? nem igen — 3 pont

II. A rész

A II. részre összesen 135 perced lesz élesben az érettségin.
Feladatonként 12 pont jár.

A megoldásokat nem egész szám esetén mindig egy tizedre kerekítsd, illetve a hagyományos törteket is tizedestört formában add meg!

13) Adottak A(-8; 4) és B(3; -3) pontok. A k kör átmérője AB szakasz.

a) Mi a kör középpontjának ordinátája, illetve mekkora a kör kerülete? — 6 pont

ordináta:
K = egység

b) Add meg ABC háromszög C csúcsának koordinátáit, ha tudjuk, hogy S(1; -5) a háromszög súlypontja. — 3 pont

C(; )

c) Mekkora szöget (δ) zár be AB egyenes az abszcisszával (x tengellyel)? — 3 pont

δ = °

14) Adottak k: (x + 6)² + (y − 6)² = 25 kör, illetve f(x) egyenes. Az f(x) egyenes egyik pontja a kör középpontja, egy másik pontja pedig F(9; 3).

a) Hol metszi k kört f egyenes? — 9 pont

M₁(; )
M₂(; )

b) Az egyenesen van P pont, melynek abszcisszája 113. Mennyi a másik koordinátája? — 3 pont

ordináta:

15) A(8; 9), B(-3; -3) és C(1; -6) pontok egy háromszög csúcsait jelölik.

a) Add meg a háromszög A csúcsánál lévő súlyvonala (s_a) meredekségét! — 4 pont

s_a meredeksége:

b) Mekkora a B csúcsnál lévő szög (β) nagysága? — 4 pont

β = °

c) Írd fel a C csúcshoz tartozó magasság (m_c) és az y tengely metszéspontját (M)! — 4 pont

M(; )

II. B rész

Az itt (B részben) szereplő 3 feladat közül csak 2-t kell megoldani.
Feladatonként 17 pont jár.

A megoldásokat nem egész szám esetén mindig egy tizedre kerekítsd, illetve a hagyományos törteket is tizedestört formában add meg!

Kérlek add meg, melyik példát hagyod ki! Ha nem választasz, akkor automatikusan a 18. feladat nem lesz értékelve. (A program mindegyik példát kijavítja, de az összpontszámba nem számítja bele a kiválasztott feladatot; akárcsak élesben az érettségin.)

18) 17) 16)

16) Egy téglalap oldalegyenesei a koordinátatengelyek és az x = 7, valamint az y = 8 egyenletű egyenesek.

a) Add meg az origóval szemközti csúcs koordinátáit! — 2 pont

(; )

b) Add meg a téglalap köré írható kör "K" középpontját és "r" sugarát! — 5 pont

K(; )
r = egység

c) Állapítsd meg, hogy a téglalap kerülete hány százaléka a kör kerületének! — 2 pont

%-a

d) Az f(x) = 6x + 1 egyenletű egyenes a téglatestet két részre bontja. Mekkora a részek területének különbsége? — 8 pont

T = egységnégyzet

17) ABCΔ háromszög csúcsainak koordinátái: A(-2; 0), B(6; 6) és C(7; 0).

a) Mekkora ABCΔ kerülete? — 4 pont

K = egység

b) Mekkora ABCΔ területe? — 4 pont

T = egységnégyzet

c) Mekkora a ABCΔ-nek a C csúcsnál lévő külső szöge (γ`)? — 3 pont

γ` = °

d) Mekkora ABCΔ köréírt körének sugara (r)? — 6 pont

r = egység

18) Ismerjük k kört, melynek átmérője AB szakasz. A szakasz két végpontja: A(-6; 7) és B(7; -5).

a) Add meg azon koncentrikus q kör egyenletét, melynek területe fele a k kör területének!
Ebben az alakban írd fel: (x − u)² + (y − v)² = r² — 7 pont

(x − )² + (y − )² = ²

b) Mekkora a k és q körök által meghatározott körgyűrű területe? — 1 pont

T = egységnégyzet

c) Az f egyenest úgy kapjuk, hogy az AB szakaszra illeszkedő egyenest egy egységgel lejjebb toljuk (azaz y-tengelyen negatív irányba). Mekkora szakaszt metsz ki k kör az f egyenesből? — 9 pont

kimetszett hossz: egység